浮夸

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一个数学家要想在普通人面前显摆自己的聪明才智，最有效的办法就是出一道关于无穷的数学题。比如，数学家问你：“1/2+1/4+1/8+1/16+……+1/（2的N次方，N=无穷大）=？”你想了想，回答说，等于1。“那么，你能证明吗？”数学家挑战性地问。你回答不出来。数学家得意地拿出一张早已画好的草图给你看：

“很明显，N越大，线段的总长度加起来就越接近1。当N等于无穷大的时候，线段长度就等于1了。”数学家说：“古代人就是用这个办法算π值的。比如，古罗马时代留下了一枚戒指，上面的图案是这样的。”

“这幅图的意思是说，一个圆可以被分成正N边型，N越大，N边型的周长就越接近圆周长。N边型是可以用几何方法算出来的，只要N足够大，得出的π值就越接近真正的π值，对吧？”

你点头称是，以为自己终于理解了无穷大的妙处。然后，数学家拿出了杀手锏。“再请看下面这张图。”

“最左边的图是等边三角形，边长假定为1。下一张图右边的线段长度仍然是1，左边被分成两个相等的等边三角形，边长是1/2。4条边总长度加起来是2。图3更近一步，把等边三角形分成4份，右边仍然是1，左边的锯齿总长度则还是2。依此类推下去，当把三角形分成无穷多份的时候，右边仍然是1，左边按理说应该还是2。但是，此时左边变成了几乎看不出来的细小的锯齿，总长度看起来变成了1。于是，这张图证明：1=2。”

这回轮到你傻眼了。1肯定不等于2，这是你从生下来就知道的常识。但是……你想不明白问题到底出在哪里。

上面这个故事选自一本通俗数学书，名叫《雨林中的欧几里德》。作者约瑟夫·马祖尔告诉读者，一般人的大脑中天生就存有数学的基本概念，比如1+1=2，两点之间只能画一条直线……诸如此类，我们可以称之为数学直觉。整座经典数学的大厦，都是基于少数几个数学直觉，我们称之为公理。这些公理之所以不需要证明，是因为人类从日常生活中早已千百次体会到了它们的准确性，因此在进化的过程中被固定在了大脑中。

但是，当数学介入无穷大的范畴时，人类的直觉就不管用了。这时就必须抛开直觉，换用另一套思维方式。比如上述1=2的问题，就是通过微积分来解决的。普通人不能仅凭直觉理解微积分，必须变换思路才行。